No hay real, espero que no te moleste esto que te voy ha decir, pero eres un poco rígido, no sólo en esta pregunta. La historia no es blanco o negro, el mundo no se despertó un día y dijo "ole, ya no estamos en la edad moderna, acabamos de pasar a la contemporánea".
Se suele utilizar algún acontecimiento de importancia para marcar la transición entre dos edades. Está aceptado más o menos que el paso de la moderna a la contemporánea a nivel mundial comenzó con la Declaración de Independencia de EEUU en 1776 o Revolución Francesa en 1789, año que además coincide con el comienzo de reinado de Carlos IV.
En España, sin embargo, se suele utilizar la invasión francesa de 1808. Además coincide con una transición entre los sistemas monetarios y la adopción, aunque fuera de forma temporal del sistema francés en el que los reales de a 8 pasaron a ser reales de a 20.
Una vez más, ponlo como a tí más cómodo te resulte, que estará bien puesto.
Saludos!